Алексей Станиславович Елисеев родился 13 июля 1934 года в городе Жиздра (ныне Калужской области). Настоящая фамилия космонавта – Курайтис, отец его был литовцем, предки которого, покинув родину после Первой мировой войны, поселились под Рязанью. Мать Алексея Станиславовича решила вернуть себе и сыну свою девичью фамилию – Елисеева, когда ее мужа осудили за антисоветскую агитацию, и ей пришлось с ним развестись.
В годы Великой Отечественной войны семья жила в Казахстане, а потом уехала в Подмосковье. Аттестат Елисеев получил в 1951 году, после окончания московской средней школы, и поступил в Московское высшее техническое училище имени Н.Э. Баумана, которое окончили немало советских космонавтов того времени. Получив диплом инженера-механика в 1957 году, Елисеев трудился в лаборатории ОКБ-1, уволившись лишь после поступления в аспирантуру Московского физико-технического института.
В 1962 году, закончив аспирантуру, будущий космонавт возвратился в ОКБ-1. Там он принимал участие в создании систем управления космических кораблей. 23 мая 1966 Елисеева зачислили в 731-й отдел ЦКБЭМ в качестве начальника группы кандидатов в космонавты-испытатели. Спустя полгода он и сам стал космонавтом-испытателем.
Елисеев осуществил три полета, проведя в космосе в общей сложности чуть менее девяти суток. Время пребывания в открытом космическом пространстве у него составило 37 минут. Это произошло во время первой экспедиции на орбиту, которая состоялась с 15 по 17 января 1969 года. Елисеев был бортинженером на корабле «Союз-5», где кроме него находились Борис Волынов и Евгений Хрунов. Советские космонавты первыми в мире провели тогда ручную стыковку пилотируемых кораблей. Елисеев с Хруновым успешно перешли на «Союз-4».
По завершении космических полетов в 1971 году, Алексей Станиславович работал несколько лет в Центре управления полетами. В 1973 году, защитив диссертацию, получил степень доктора технических наук. В 1975-1985 годах являлся заместителем генерального конструктора НПО «Энергия», руководил полетами всех пилотируемых кораблей СССР в этот период. В 1986-1991 годах являлся ректором МВТУ, а затем работал руководителем проектов в ООО «IBM СССР».
Также Елисеев был депутатом Верховного Совета Советского Союза одиннадцатого созыва и делегатом XXIV-XXVII съездов КПСС. В период 1989-1992 годов он являлся народным депутатом, в начале 1991 года возглавил депутатскую группу по связям с региональными межпарламентскими организациями Европы. В новом тысячелетии Елисеев руководил одним из подразделений Московского энергетического института и возглавлял фонд поддержки образования российского отделения «Фесто».
Алексей Станиславович Елисеев удостоен ряда государственных наград, имеет звание почетного гражданина города Калуги. Он является автором книги «Жизнь — капля в море», автором и соавтором большого числа публикаций в различных журналах, имеет 5 изобретений. Живёт в Москве.
