Михаил Михайлович Державин родился 15 июня 1936 года в Москве, в семье одного из ведущих актёров театра имени Е. Вахтангова народного артиста РСФСР Михаила Степановича Державина. Детство прошло в доме, в котором проживали многие актеры, музыканты, художники. В соседнем подъезде находился вход в Театральное училище им. Б. Щукина.
Во время Великой Отечественной войны Михаил вместе с родителями был в эвакуации, в Омске. В 1954 году он поступил в театральное училище им. Щукина, а в 1956 году дебютировал в кино (фильм «Они были первыми»).
В последующие годы Державин снимался во многих картинах. Одна из наиболее ярких киноролей актера — в фильме «Трое в лодке, не считая собаки» (1979) по произведению Джерома К. Джерома, где Державин снялся вместе с Андреем Мироновым и Александром Ширвиндтом. Также не остались незамеченными зрителями роли в фильмах: «Жених из Майами», «Бабник», «Моя морячка», «Старые клячи», «Третий не лишний», «Импотент», «Ночной визит» и другие.
В 1959 году, окончив училище, Михаил начал работу в Московском театре имени Ленинского комсомола. С приходом в 1963 году в Ленком А. Эфроса в театре ставились такие знаменитые спектакли, как «Снимается кино», «Вам 22, старики», «Сто четыре страницы про любовь». По словам Державина: «Это была великолепная школа актерского мастерства».
В то же время возник дуэт Ширвиндт—Державин, а знаменитыми на всю страну их сделала телепередача «Кабачок 13 стульев», в котором Державину досталась роль ведущего. К моменту закрытия «Кабачка» в 1981 году актер снялся в 140 сериях.
В 1965 году он перешел в Московский театр на Малой Бронной (в числе других актеров вслед за Эфросом), а в 1969 году — в Московский театр сатиры, где проработал до конца жизни.
Среди его театральных работ можно назвать роли в спектаклях: «Обыкновенное чудо», «Маленькие комедии большого дома», «Прощай, конферансье», «Горе от ума», «Вишневый сад», «Ревизор», «Самоубийца», «Тартюф», «Швейк, или Гимн идиотизму» и много других. Всего за время работы в Театре сатиры Державин сыграл более 60 незабываемых и ярких ролей. Причем ему прекрасно удавалась и классика, и пьесы современных авторов.
Помимо театра и кино Михаил Михайлович много лет выступал на эстраде вместе с другом и партнером Александром Ширвиндтом. Также он принимал участие в озвучивании различных фильмов и в различных телепроектах. Увлекался спортом и рыбалкой, любил петь.
Михаил Державин — Народный и Заслуженный артист РСФСР, Заслуженный деятель искусств Польши, кавалер орденов Почета, Дружбы, «За заслуги перед Отечеством» III и IV степени.
Державин трижды был женат. Его первая супруга — Екатерина Райкина, дочь А. Райкина, с которой он познакомился еще в театральном училище. Второй женой актера в середине 1960-х годов стала Нина Буденная. В этом браке родилась дочка Маша. А с 1980 года Державин был женат на певице, народной артистке России Роксане Бабаян.
Скончался Михаил Михайлович Державин 10 января 2018 года в Москве, на 82-м году жизни, после продолжительной болезни. Похоронен на Новодевичьем кладбище города Москвы, рядом с отцом.
